零射

零射（Zero Morphism）

圏論の一分野において、零射とは特定の性質を持つ射のことを指します。これは、零対象への射および零対象からの射の特性を併せ持つものです。

定義

圏 C とその中の射 f: X → Y を考えます。この射 f が定値射（constant morphism）または左零射と称されるのは、任意の対象 W および射 g, h: W → X に対し、条件 fg = fh が成り立つ場合です。対照的に、f が余定値射（coconstant morphism）あるいは右零射である場合は、任意の対象 Z ∈ ob(C) および射 g, h: Y → Z に対し、gf = hf が成立するものを指します。要するに、零射は両方の条件を満たす射であると理解できます。

零射を持つ圏

零射を有する圏（category with zero morphisms）では、任意の対象の組 A, B ∈ C に対して一意の射 0AB: A → B が存在します。また、この射は任意の対象 X, Y, Z ∈ C および射 f: Y → Z, g: X → Y に対して可換な図式を成します。ここで言う射 0XY は明示的に零射でなければならないのです。このことは、任意のオブジェクトのペアに対して一意の零射が存在することを意味し、したがって、圏 C の全零射は一つの集合を形成します。これは、各射集合が零射を持つ限り、その圏もまた零射を持つ圏となることを示しています。

例

例えば、群の圏や加群の圏を考えると、零射は準同型 f: G → H で、G の任意の元を H の単位元へ写す射、つまり零準同型として定義されます。ここで、群の圏の零対象は自明群 1 = {1} であり、同型を除けば唯一無二であって、任意の零射は 1 を介して f: G → 1 → H というふうに分解可能です。さらに一般的に、C が零対象 0 を持てば、対象ごとの組 X, Y に対して一意な射の列 0XY: X → 0 → Y が確保され、この射の集合全体が C の零射を持つ圏の構造を形成します。

追加理解

前加法圏 C における任意の射集合 Mor(X, Y) はアーベル群の性質を持ち、これにより零元が存在します。これらの零元全体は圏 C の零射を形成し、C は零射を持つ圏へと変わります。しかし、集合の圏（集合とその間の写像から構成される圏）Set では、零対象は存在しませんが、空集合 ∅ を始対象として扱います。これにより Set の右零射が存在し、各集合 X に対する空写像 ∅ → X がそれに該当します。

関連トピック

圏 C に零対象 0 が存在する場合、対象ごとの対 X, Y ∈ ob(C) において、標準的な射の対 f: X → 0, g: 0 → Y の存在が確保されます。このことから、合成射 gf は MorC(X, Y) の零射となります。

したがって、任意の点付き圏（零対象を持つ圏）は合成射 0XY: X → 0 → Y で記述される零射を持つことになります。また、圏が零射を持つ場合、圏内の任意の射に対する核および余核の概念が定義可能です。これにより、圏論における様々な構造が明らかになるのです。

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参考文献

• - Pareigis, Bodo (1970), "Categories and functors, Pure and applied mathematics, 39, Academic Press, ISBN 978-0-12-545150-5"
• - Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2007), "Category Theory, Heldermann Verlag"

注

外部リソース：

• - zero morphism in nLab
• - constant morphism in nLab

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