マグマ (数学)

マグマの概観

抽象代数学において、マグマとは一つの集合と、その集合上に定義された一つの二項演算から成る代数的構造のことを指します。この概念は、数学者ニコラ・ブルバキによって導入されました。かつてはオイステイン・オアの用語である「亜群」と呼ばれており、現在でもこの名前で言及されることがありますが、圏論では異なる意味を持ちます。

定義

マグマ
(M, μ) は、集合 M と、M 上で閉じた二項演算 μ による組と定義され、μ(a, b) が M の元となることを求められます。この二項演算には、他に特別な公理が課せられていません。演算が明確で混乱の恐れがない場合、演算の記号を省略し、単にマグマ M と表現されることがあります。また、演算μはしばしば「積」として認識され、演算結果は通常 ab と記されます。

部分マグマ

マグマ (M, μ) の部分集合 N が二項演算 μ によってマグマを形成すれば、(N, μ) を (M, μ) の部分マグマと呼びます。これは、元の集合の一部が同じ演算によってもマグマとしての特性を保持することを示しています。

マグマ準同型

二つのマグマ (M, μ) および (N, ν) の間に、正しいマグマの二項演算を保つ写像 f: M → N が存在する場合、これをマグマ準同型または準同型写像と呼びます。この条件を満たすとき、magma 準同型 f が全単射であれば、逆写像 f⁻¹ もマグマ準同型となり、両マグマは構造が同じと見なされます。

マグマ合同と剰余マグマ

マグマ (M, μ) には、同値関係 ∼ が定義されることがあります。これがマグマ合同であるとは、特定の条件を満たすことを意味します。その結果、合同類によって新しい二項演算 μ' を定義することができ、元のマグマに新たな特性を持つ剰余マグマを形成します。

組合せ論における結合順序

マグマ演算を複数回繰り返す場合、演算の適用順序を示すために括弧を用います。この際に形成される字列は、対応する括弧のペアで構成されるダイク言語として知られています。特に、n 回の演算適用で生じる異なる配列数はカタラン数 Cn により定義され、これによって演算対象がどのように結合されるかが示されます。

自由マグマの特性

集合 X から生成される自由マグマは、その生成元間に特定の関係や公理を課さない、最も一般的な形のマグマです。わかりやすく言えば、自由マグマはX上のすべての語の集合とみなすことができ、計算機科学においても重要な役割を持ちます。任意のマグマへの写像は、自由マグマからのマグマ準同型に一意的に拡張されるため、すべてのマグマは何らかの自由マグマと同型であるといえます。

マグマの分類

マグマは、その性質と演算に異なる公理を課すことで、さまざまな種類の代数系として区別されます。例えば、以下のような分類があります：

• - 準群：除法が常に可能な空でないマグマ。
• - ループ：単位元を持つ準群。
• - 半群：結合的な演算を持つマグマ。
• - モノイド：単位元を持ち結合的な半群。
• - 群：逆元を持つモノイド。
• - アーベル群：可換な群。

これらの特性をもとに、さらなる分類や新しい概念が形成されており、マグマの研究は数学全体における重要な一部を成しています。

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