準群

準群とループ

準群とは

数学の一分野である抽象代数学において、準群（quasigroup）は、マグマと呼ばれる集合とその上の二項演算からなる代数的構造のうち、特に可除性という性質を満たすものを指します。可除性とは、集合内の任意の二つの元 `a`, `b` に対して、等式 `a x = b` と `y a = b` がそれぞれ一意的な解 `x`, `y` を持つ性質です。群（group）が満たす結合律や単位元の存在は、準群においては必ずしも仮定されません。結合律を満たす準群は、空でない限り群と同等になります。

準群がさらに単位元（全ての元 `x` に対して `x e = e x = x` を満たす特別な元 `e`）を持つ場合、その準群はループ（loop）と呼ばれます。したがって、群は単位元と結合律を持つループであり、ループは単位元を持つ準群、準群は可除性を持つマグマ、という包含関係があります。

定義の方法

準群を定義する方法は、少なくとも二通りあり、これらは構造として同値です。

1. ラテン方格性による定義:
集合 `Q` とその上の二項演算 `` からなるマグマ `(Q, )` が、任意の `a, b ∈ Q` に対して `a x = b` および `y a = b` を満たす `x, y ∈ Q` がそれぞれ一意的に存在するという性質（ラテン方格性）を満たすとき、準群と定義されます。この性質は、有限集合上の準群における積表（乗積表）が、各行および各列に集合の全ての元が一度ずつ現れるラテン方格となることに由来します。一意的に定まる解 `x` は `a \ b` と、解 `y` は `b / a` と記述され、これらの演算 `\` と `/` はそれぞれ左除法、右除法と呼ばれます。無限集合上の準群においてもラテン方格性は成り立ちますが、積表として視覚化するのは困難です。

2. 普遍代数学的定義:
二項演算 `` に加えて、左除法 `\` と右除法 `/` の三つの演算を備えた集合 `(Q, , \, /)` が、以下の四つの恒等式を満たすものとして定義されます。
`x \ (x y) = y`
`x (x \ y) = y`
`(y x) / x = y`
`(y / x) x = y`
これらの恒等式は、同じ側からの乗法と対応する除法を連続して行う操作が恒等写像になることを示しており、ラテン方格性における一意解の存在と対応しています。普遍代数学的な定義では、準群はこれらの恒等式を満たす代数構造として扱われます。

ループの性質

ループは単位元 `e` を持ちます。この単位元は一意的であり、ループの各元 `x` に対して、`x y = e` を満たす一意的な右逆元 `y = e / x` と、`z x = e` を満たす一意的な左逆元 `z = e \ x` が存在します。左逆元と右逆元は必ずしも一致しません。

結合律を持たないループは非結合的ループと呼ばれます。非結合的ループの中でも、特定の弱い結合律を満たすボル・ループやムーファン・ループなどが研究されています。例えば、ボル・ループは `x (y (x z)) = ((x y) x) z` のような恒等式を満たします。非零八元数の乗法はムーファン・ループの一例です。

冪等元（`x x = x` を満たす元）を持つ準群はpiqueと呼ばれ、単位元を持つループとは異なる概念です。アーベル群の減法は、単位元である零元を冪等元とするpiqueを構成します。

準群の特性と分類

全ての準群は簡約的です。すなわち、`a b = a c` ならば `b = c` であり、`b a = c a` ならば `b = c` が成り立ちます。これはラテン方格性における一意解の存在から直接導かれます。

準群は、その演算間の関係によっていくつかのクラスに分類されます。対称性に関する分類として以下のようなものがあります。

半対称準群: `x / y = y x` や `y \ x = x y` など、互いに同値な特定の恒等式を満たします。
全対称準群 (TS-準群): 乗法 ``、左除法 `\`、右除法 `/` の三つの演算全てが一致する準群です。冪等な全対称準群はシュタイナー準群と呼ばれ、シュタイナー三重系と等価な構造を持ちます。可換な半対称準群としても特徴づけられます。
全反対称準群: ある種の条件が満たされるときに元が等しくなる、という性質を持ちます。

準群の例

任意の群はループです。
整数の全体 `Z` とその減法 `(Z, -)` は準群ですが、単位元がないためループではありません（`0` は右単位元ですが左単位元ではありません）。
非零有理数 `Q^×` とその除法 `(Q^×, ÷)` は準群です。
2でない標数の体上のベクトル空間における演算 `x y = 1/2 (x + y)` は、冪等かつ可換な準群をなします。
シュタイナー三重系は、冪等かつ可換なシュタイナー準群を定めます。
位数8の非結合的ループの例として、特定の乗法を定義した四元数の単元集合があります。

射と構造の関係

準群間の構造を保つ写像を準同型と呼びます。より一般的には、準群 `Q` から準群 `P` へのホモトピーとは、写像の三つ組 `(α, β, γ)` で `α(x) β(y) = γ(x y)` を満たすものです。特に `α, β, γ` が全て全単射であるホモトピーをアイソトピーと呼びます。二つの準群の間にアイソトピーが存在するとき、それらはアイソトピックであると言います。アイソトピーは、積表における行の置換、列の置換、台集合の元の置換に対応します。

ブルック–マードック–豊田の定理によれば、任意の準群は必ずそれとアイソトピックなループを持ちます。また、群とアイソトピックなループは必ずその群と同型であり、それ自身が群となります。しかし、準群自身が群とアイソトピックであっても、必ずしも群であるとは限りません。例えば、実数上の演算 `(x+y)/2` は加法群 `(R, +)` とアイソトピックですが、結合的でも単位元も持たないので群ではありません。

準群の乗法演算から導かれる左除法や右除法などもまた準群演算となります。これらの関連する計六つの演算は共役（conjugates または parastrophes）と呼ばれます。二つの準群演算が互いに共役な演算とアイソトピックである場合、それらはアイソストロフィック（isostrophic）であると言われます。

一般化

準群の概念は、単一の二項演算だけでなく、n個の元の組に対して一つの元を定めるn項演算に拡張され、多項準群が定義されます。n項準群 `(Q, f)` は、等式 `f(x1, ..., xn) = y` において、n+1個の変数から任意のn個の値が与えられたとき、残りの一つの値が一意的に定まる性質を持つ構造です。通常の準群は二項準群にあたります。

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