半単純加群

半単純加群とは

半単純加群は、抽象代数学の加群論において非常に重要な概念です。最も基本的には、単位元を持つ環の上に定義され、単純部分加群からなる直和で構成される加群です。このため、半単純加群の性質を理解することは、関連する環や加群の構造を把握することに直結します。

定義と性質

加群 M が半単純であるとは、次のいずれかが成り立つときです：
1. M は既約加群の直和である。
2. M はその既約部分加群の直和である。
3. M の全ての部分加群が直和成分である。これは、任意の部分加群 N に対して、補部分加群 P が存在し、M = N ⊕ P となることを意味します。

この条件により、半単純加群の特性が確立されます。また、半単純加群の最も基本的な例として、体上の加群、すなわちベクトル空間が挙げられます。ただし、整数環 Z は自身の上の半単純加群ではありません。

アルティン的半単純環

半単純加群に関連する環も興味深いものがあります。特に、半単純加群自身が、ウラベル群自己準同型環への環準同型としても考察できます。この時、準同型の像は半原始環となり、半単純加群の自己準同型環はフォンノイマン正則であることが特徴です。

さらに、環が半単純であるとは、それが自身の上で半単純加群としても成り立つことを示します。驚くべきことに、左半単純環であれば右半単純でもあり、逆もまた同様です。この特徴により、半単純環はホモロジー代数の観点からも考察でき、具体的には左または右 R-加群の任意の短完全列が分裂することと同値であることがわかります。特に、半単純環の任意の加群は移入加群かつ射影加群になります。

例と特異点

可換半単純環は、体の有限個の直積として表現されます。また、群環 k[G] が半単純であるための条件に、k の標数が群の位数 n を割らないことが挙げられます。これはマシュケの定理と呼ばれ、群の表現論において非常に重要な結果の一つです。

とはいえ、単純環がいつも半単純であるとは限りません。その理由は、環が大きすぎたり、（左または右）アルティンでない場合もあるためです。古典的な例として、ワイル代数などが挙げられます。

ジャコブソン半単純

また、ジャコブソン根基が0であるとき、すなわち極大左イデアルの共通部分が0である場合、その環はジャコブソン半単純、または J-半純と呼ばれます。全ての半単純環は J-半単純でありますが、その逆は成り立たないことにも注意が必要です。

脚注

半単純加群や関連する環についての理解を深めることは、代数学のさまざまな分野において非常に重要です。これにより、より複雑な数学的構造を解析し、新しい理論を築く基礎が形成されます。

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