射 (圏論)

射 (morphism)

数学における射、あるいは型射（英: morphism; モルフィズム）は、ある数学的構造を持つ対象から別の対象への、「構造を保つ」写像として用いられる概念です。これは準同型とも呼ばれ、集合論における写像、線型代数学における線型写像、群論における群準同型、位相空間論における連続写像など、現代数学の様々な分野に繰り返し現れます。

圏論における射

圏論では、この射の概念をさらに広く、抽象的に扱います。ここでは、考える対象は必ずしも集合である必要はなく、それらの間の関係を示す射も、単なる写像にとどまらない一般のものであり得ます。射、そしてそれが定義される対象や構造を詳しく調べることは、圏論の中心課題です。

圏 C は、対象と呼ばれるものの集まりと、射と呼ばれるものの集まりの二種類から構成されます。任意の射 f に対して、それが始まる始域（ドメインまたはソース）X と、それが到達する終域（コドメインまたはターゲット）Y が定まっており、これは f: X → Y と表記されます。この表記は、射を始域から終域へ向かう一本の「矢印」として捉える見方に対応しています。X から Y へ向かう射全体の集まりは、homC(X,Y) または hom(X, Y) と書かれ、ホム類またはホム集合と呼ばれます。注意すべき点として、射の全体は必ずしも集合を成すとは限らないため、「ホム集合」という呼び方は厳密には適切でない場合があります。

射の操作と性質

任意の三つの対象 X, Y, Z が与えられたとき、hom(X, Y) に属する射 f: X → Y と hom(Y, Z) に属する射 g: Y → Z を組み合わせる合成と呼ばれる二項演算が存在し、hom(X, Z) に属する合成射 g ∘ f または gf が得られます。この射の合成は、しばしば可換図式を用いて視覚的に表現されます。

射は以下の二つの公理を満たす必要があります。

• - 恒等律: 任意の対象 X に対して、恒等射 idX: X → X と呼ばれる射が存在します。これは、任意の射 f: A → B に対して、idB ∘ f = f = f ∘ idA が成り立つという性質を持ちます。
• - 結合律: 合成が定義される限りにおいて、h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f が成り立ちます。

具体的な圏においては、恒等射は対応する構造上の恒等写像であり、合成は通常の写像の合成に対応します。写像の合成は結合的であるため、この結合律は満たされます。

射はその始域と終域によって決定される情報の一部と見なされます。例えば、集合の圏において、同じ対応関係（グラフ）を持つ二つの写像であっても、終域が異なれば、圏論的には別の射として扱われます。実際上は、射に始域と終域の情報を加えて区別することで、この点は問題なく扱えます。

特定の種類の射

射はその性質によっていくつかの種類に分類されます。

単射 (monomorphism): 射 f: X → Y が単射であるとは、任意の射 g1, g2: Z → X に対して、f ∘ g1 = f ∘ g2 ならば g1 = g2 が成り立つことを言います。モノ射または単型射とも呼ばれます。左逆射を持つ射は常に単射ですが、すべての単射が左逆射を持つわけではありません。左逆射を持つ単射を分裂単射と呼びます。
全射 (epimorphism): 双対的に、射 f: X → Y が全射であるとは、任意の射 g1, g2: Y → Z に対して、g1 ∘ f = g2 ∘ f ならば g1 = g2 が成り立つことを言います。エピ射または全型射とも呼ばれます。右逆射を持つ射は必ず全射ですが、すべての全射が右逆射を持つわけではありません。右逆射を持つ全射を分裂全射と呼びます。
双射 (bimorphism): 単射かつ全射である射を双射と呼びます。
同型射 (isomorphism): 射 f: X → Y に対して、ある射 g: Y → X が存在し、f ∘ g = idY かつ g ∘ f = idX が成り立つとき、f を同型射と呼びます。このとき、射 g は f の逆射と呼ばれ、存在すれば一意です。逆射 g もまた同型射であり、その逆射は f です。二つの対象 X と Y の間に同型射が存在するとき、それらは同型である、あるいは同値であると言われます。同型射は必ず双射ですが、双射が必ずしも同型射であるとは限りません。例えば、可換環の圏における整数環から有理数体への包含写像は双射ですが同型射ではありません。ただし、分裂単射かつ全射である射、あるいは単射かつ分裂全射である射は必ず同型射となります。すべての双射が同型射となる圏を均衡圏と呼びます。
自己射 (endomorphism): 始域と終域が同じ対象 X である射 f: X → X を、対象 X の自己射と呼びます。
自己同型射 (automorphism): 自己射である同型射を自己同型射と呼びます。

具体圏において、単射は集合論的な単射（入射的写像）に、全射は集合論的な全射（上への写像）に多くの場合対応しますが、これらは厳密には異なる概念です。左逆射を持つ単射や右逆射を持つ全射は、それぞれ集合論的な対応する性質を持つ写像となります。

具体的な例

様々な数学分野や圏において、射は以下のような具体的な形で現れます。

普遍代数学（群の圏 Grp、環の圏 Ring、加群の圏 R-Mod など）: 準同型（準同型射）
位相空間の圏 Top: 連続写像（同型射は同相写像）
可微分多様体の圏 Man∞: 滑らかな写像（同型射は微分同相写像）
小さい圏の圏 Cat: 函手
* 函手圏 Func: 自然変換

このように、射は数学における構造とそれらを保つ関係性を捉えるための、非常に基本的かつ強力な道具となっています。

もう一度検索