ミラー対称性 (弦理論)

ミラー対称性

ミラー対称性は、数学および理論物理学において、カラビ・ヤウ多様体と呼ばれる特別な幾何学的対象の間で見られる興味深い関係性を指します。これは、一見すると全く異なる形状を持つ二つのカラビ・ヤウ多様体が、もしそれらを弦理論における時空の余剰次元として捉えた場合に、物理的な性質が全く同じになるという対称性です。この関係にある多様体は、互いに「ミラー多様体」と呼ばれます。

この対称性は、元々物理学者によって発見されました。数学者がミラー対称性に強い関心を持つようになったのは1990年頃からです。特にフィリップ・キャンデラス、ゼニア・デ・ラ・オッサ、パウル・グリーン、リンダ・パークスといった研究者たちが、ミラー対称性が数え上げ幾何学、すなわち様々な方程式の解の個数を数える数学の分野に応用できることを示しました。実際、キャンデラスらはミラー対称性を用いることで、カラビ・ヤウ多様体上に描ける有理曲線の数を計算し、長年にわたり未解決だった問題に光を当てることに成功しました。当初、このアプローチは理論物理学者の直感に基づいたもので、必ずしも数学的な厳密性を満たしているわけではありませんでした。しかし、その後数学者たちは、ミラー対称性に関するいくつかの重要な予想について、厳密な数学的証明を与えることに成功しています。

今日、ミラー対称性は純粋数学の主要な研究テーマの一つとなっており、数学者たちは物理学者の直感的なアイデアに基づいたミラー対称性の概念を、より深い数学的視点から理解しようと努めています。また、ミラー対称性は、弦理論の複雑な計算を実行する上で不可欠なツールとしても機能しています。ミラー対称性を探求する主なアプローチとしては、マキシム・コンツェビッチが提唱したホモロジカルミラー対称性のプログラムや、アンドリュー・ストロミンジャー、シン＝トゥン・ヤウ、エリック・ザスロフによるSYZ予想などが挙げられます。

ミラー対称性の考え方

物理学の弦理論は、素粒子を点としてではなく、一次元の「弦」として扱う理論的な枠組みです。これらの弦は、ループ状または両端を持つ短い区間のような形をしています。弦理論は、弦が空間をどのように進み、互いにどのように相互作用するかを記述します。弦の大きさよりも大きなスケールで見ると、弦は点粒子のように見え、質量や電荷など、その振動状態によって決まる様々な性質を持っています。弦が分裂したり結合したりする現象は、粒子が光などを放出・吸収し、相互作用を引き起こすことと対応します。

私たちの日常世界には、縦・横・奥行きの三つの空間次元と、過去から未来への時間次元が存在します。現代物理学では、これを4次元の時空と捉えます。弦理論の大きな特徴の一つは、その数学的な整合性のために、慣れ親しんだ4次元に加えて余分な次元が必要となることです。特に、超対称性という理論的概念を取り入れた超弦理論では、日常的な4次元に加えてさらに6つの余剰次元が存在するとされます。

現在の弦理論研究の目標の一つは、高エネルギー物理実験で観測される素粒子を、弦の性質から再現できるようなモデルを構築することです。現実世界に合うモデルを作るためには、観測される時空の次元は4次元である必要があります。そのため、通常の距離スケールでは余剰次元が見えなくなるようなメカニズムを見つけなければなりません。弦理論に基づく最も現実的なモデルでは、これは「コンパクト化」と呼ばれる過程を通じて実現されます。コンパクト化の基本的な考え方は、弦理論の特定の次元が非常に小さく円状に「巻き込まれている」というものです。次元が極端に小さく巻き上がっている場合、大きなスケールではより低い次元の理論として見えます。この状況は、庭のホースに例えることができます。遠くから見るとホースは一次元的に長さだけを持っているように見えますが、近づくと円周というもう一つの次元を持っていることがわかります。ホースの表面を這うアリは、この二次元空間を自由に動き回ることができます。

コンパクト化によって、時空の有効な次元を4次元にすることができます。しかし、余剰次元をコンパクト化する全ての方法が、自然界を適切に記述する性質を持つモデルを生み出すわけではありません。素粒子物理学で観測される現象と整合性の取れるモデルを構築するためには、コンパクト化された余剰次元が「カラビ・ヤウ多様体」という特定の形状をしている必要があるとされます。カラビ・ヤウ多様体は、典型的には複雑な6次元の形をしており、ある特殊な数学的条件を満たします。これらの多様体は、数学者のエウジェニオ・カラビとシン＝トゥン・ヤウの名前を冠しています。

1980年代後半、弦理論においてこのようなカラビ・ヤウ多様体を用いてコンパクト化を行った場合、対応する物理理論から元のカラビ・ヤウ多様体を一意に特定できるわけではないことが明らかになりました。その代わりに、幾何学的には異なる二つのカラビ・ヤウ多様体が、全く同じ物理現象を記述することが発見されたのです。これらの多様体が互いに「ミラー」と呼ばれる所以です。全ての双対性がいまだ予想の段階である一方、エドワード・ウィッテンが導入した簡素化された弦理論である「位相的弦理論」の文脈では、ミラー対称性にはより厳密な数学的定義があります。位相的弦理論においては、ミラー対称性は、二つの異なる理論、A-モデルとB-モデルが、ある厳密な意味で等価であることを主張します。

弦理論におけるカラビ・ヤウ多様体を用いたコンパクト化が、実際に自然界を正しく記述しているかどうかとは別に、幾何学的に異なるカラビ・ヤウ多様体の間にミラー対称性という関係が存在するという事実は、数学にとって非常に重要な成果をもたらしました。弦理論で用いられるカラビ・ヤウ多様体は、それ自体が純粋数学的にも興味深い対象です。ミラー対称性は、数学者が数え上げ代数幾何学における多くの問題を、そのミラー多様体における等価な問題を解くことで解決することを可能にしました。現在、ミラー対称性は数学研究の活発な分野であり、数学者たちは物理学者の直感に基づいたミラー対称性を、より深く数学的に理解するための努力を続けています。

幾何学的側面：複素構造とシンプレクティック構造

ミラー双対性の片側に現れる幾何学の一種を理解するために、ここでは複素平面の点を同一視することでトーラス（ドーナツのような形）を構成する方法を考えてみましょう。このトーラスは、二つの複素数$\omega_1$と$\omega_2$を選び、それらが張る平行四辺形の向かい合う辺を貼り合わせることで得られます。$\omega_1/\omega_2$が実数でないという条件は、これらの点が一直線上に並ばないことを保証します。このようにして作られたトーラスは、互いに連続的に変形できるという意味では全て同じですが、トーラスは加法構造を持つため、区別することも可能です。この方法で構成されたトーラスは「複素構造」を持っており、その上の任意の点の周りは、複素平面内の領域のように見えます。

この構成では、元のペアをゼロでない複素数$\lambda$でリスケールしたペア（$\omega_1'=\lambda\omega_1$, $\omega_2'=\lambda\omega_2$）から始めても、同じトーラスが得られます。したがって、トーラス全体の集まりを、リスケールに依らない「比率」$\tau = \omega_1/\omega_2$でパラメータ化すると便利です。このパラメータ$\tau$の虚部が正であるとして、$\tau$は複素平面の上半平面に値を取ります。また、$\tau$, $\tau+1$, $-1/\tau$といったパラメータは、同じトーラスに対応します。もし二つのトーラスが異なる$\tau$の値に対応している場合、それらは等価でない複素構造を持ちます。パラメータ$\tau$は、平行四辺形の対辺を貼り合わせて作られるトーラスの「形」を記述すると言えます。

上で述べたように、ミラー対称性は位相的弦理論のA-モデルとB-モデルという二つの物理理論を結びつけます。この双対性において、位相的B-モデルは時空の複素構造にのみ依存します。したがって、もし「時空」がトーラスであるような理論を考えるなら、その理論はパラメータ$\tau$のみに依存することになります。

トーラスの幾何学のもう一つの側面は、その「サイズ」です。具体的には、単位四角形の対辺を貼り合わせてトーラスを得たとすると、その面積は面積要素$\rho dxdy$で指定できます。単位四角形上でこの面積要素を積分することで、対応するトーラスの面積$\rho$が得られます。これらの概念を高次元に一般化したものが「シンプレクティック形式」であり、シンプレクティック形式を持つ空間の研究はシンプレクティック幾何学と呼ばれます。

ミラー対称性において、位相的弦理論のA-モデルは、時空のシンプレクティック幾何学に依存する理論です。したがって、「時空」がトーラスである理論を考える場合、A-モデルは連続的なパラメータ$\rho$に依存します。

T-双対との関連

トーラスは、二つの円の直積としても捉えることができます。例えば、経線の円（図の赤色の円）を集めたものとして考えられ、これらの円をどのように配置するかを示す空間が、それ自体が円（図のピンク色の円）となります。この空間は、トーラス上の経線の円をパラメータ化すると言われます。

弦理論における双対性の一つに「T-双対性」があります。これは、半径$R$の円の周りを伝播する弦の物理が、適切な単位系では半径$1/R$の円の周りを伝播する弦の物理と等価になるというものです。例えば、弦の運動量は離散的な値を取り、双対な円の周りに弦が何周巻き付いているかを表します。このT-双対性をトーラスの経線方向の円に適用すると、別のトーラスで表される時空における等価な記述が存在することがわかります。T-双対性は、円の半径を$R_1$から$1/R_1$へと変換します。上で見たように、トーラスの複素構造はパラメータ$\tau$で、シンプレクティック構造はパラメータ$\rho$で記述されます。トーラスを複素平面の点の同一視で構成する際に、$\omega_1=R_1$、$\omega_2=iR_2$という特別な場合を考えると、$\tau = iR_2/R_1$となり、シンプレクティックパラメータ$\rho = iR_1R_2$となります。T-双対性が$R_1$を$1/R_1$に変換するという事実は、$\tau$と$\rho$という複素パラメータとシンプレクティックパラメータが入れ替わることに対応します。

一般的なカラビ・ヤウ多様体とミラー対称性

一般的に、ミラー対称性は二つの物理理論の等価性であるとともに、複素幾何学における問題をシンプレクティック幾何学における問題へと翻訳する関係でもあります。ここで例に挙げたトーラスは、位相空間としてはコンパクトな2次元のカラビ・ヤウ多様体であり、ミラー対称性の最も単純な例です。弦理論への応用では、通常、6次元のカラビ・ヤウ多様体が考えられます。これらの6次元は、時空の観測されない余剰次元に対応します。

トーラスの例のように、カラビ・ヤウ多様体は非常に多様な形状を持ちえます。6次元のカラビ・ヤウ多様体の形状は、数学的には様々な不変量を用いて記述されます。例えば、カラビ・ヤウ多様体の形状は「オイラー標数」と呼ばれる数値によって大まかに記述されます。ミラー双対の関係にあるカラビ・ヤウ多様体は、互いに符号が反対のオイラー標数を持つことがあります。多くの異なる形状が同じオイラー標数を持つため、これは多様体の形状の粗い記述にすぎません。しかし、この粗さは、「ベッチ数」と呼ばれる数の和としてオイラー標数を分解することで、より詳細に記述できます。さらに、「ホッジ数」と呼ばれる不変量を用いると、ミラー双対のカラビ・ヤウ多様体間で興味深い対称性が見られます。

一般にミラー対称性では、「相関関数」と呼ばれる物理量の計算が重要になります。例えば、弦の相関関数などです。A-モデルにおいては、これらの相関関数は「グロモフ・ウィッテン不変量」と呼ばれる無限個の数値で表現され、その計算は非常に困難です。しかし、ミラー対称性はA-モデルの相関関数をB-モデルの相関関数と関連付けます。B-モデルの計算は、カラビ・ヤウ多様体の古典的な複素幾何学に依存しており、比較的容易に実行できます。この事実が、ミラー対称性が導入された際に数学者たちの強い関心を集めた点です。

数学への応用：数え上げ幾何学

ミラー対称性の数学への重要な応用の多くは、数え上げ幾何学という分野に属しています。数え上げ幾何学では、主に代数幾何学の手法を用いて、幾何学的な問題の解の数を数えることを目指します。数え上げ幾何学の初期の有名な問題としては、紀元前200年頃にギリシャの数学者アポロニウスが提唱した、「与えられた三つの円に接する平面上の円はいくつ存在するか」という問題があります。一般的に、この問題の解は8つの円が存在することです。

数え上げ幾何学の問題は、しばしば多項式の零点として定義される「代数多様体」と呼ばれる幾何学的対象に関連します。例えば、「クレブシュ3次曲面」は、左の図に示すような4変数の3次多項式で定義されます。19世紀の数学者アーサー・ケイリーとジョージ・サルモンの結果によれば、この曲面上にはちょうど27本の直線が存在します。

さらに一般化すると、前述のカラビ・ヤウ多様体の一種である「クインティックスリーフォールド」（5次多項式で記述される複素3次元多様体）の上に何本の直線を描けるかという問題があります。この問題は19世紀のドイツの数学者ヘルマン・シューベルトによって解かれ、そのような直線はちょうど2,875本存在することが示されました。さらに1986年には、幾何学者のセルダン・カッツが、クインティックスリーフォールドに完全に含まれる2次曲線（円のような曲線）の数は609,250個であることを証明しました。

1991年頃には、数え上げ幾何学における古典的な問題の多くが解かれていたため、この分野への関心はやや下火になり始めていました。しかし、この状況は1991年5月に再び活発化します。その時、物理学者であるフィリップ・キャンデラス、ゼニア・デ・ラ・オッサ、ポール・グリーン、リンダ・パークスらが、ミラー対称性を用いることでクインティックスリーフォールドに含まれる3次曲線の数を数えることができる可能性を示したのです。大まかに言えば、3次曲線をカラビ・ヤウ多様体の内部に完全に含まれる球体として捉えることができます。キャンデラスらは、この6次元のカラビ・ヤウ多様体には、そのような3次曲線がちょうど317,206,375個含まれることを発見しました。

クインティックスリーフォールド上の3次曲線を数えることに加えて、キャンデラスらは、数学者たちがそれまで得ていた結果をはるかに超える、有理曲線の数え上げに関するより一般的な多数の結果をもたらしました。この研究で用いられた手法は、理論物理学からの数学的には厳密でないアイデアに基づいていましたが、数学者たちはその後の研究で、ミラー対称性に関するいくつかの予想を数学的に厳密に証明しました。特に、数え上げ幾何学に関するミラー対称性の予想は、現在では厳密に証明されています。

理論物理学への応用

数え上げ幾何学への応用に加えて、ミラー対称性は弦理論における計算を実行するための基本的なツールとなっています。位相的弦理論のA-モデルでは、物理的に興味のある量を「グロモフ・ウィッテン不変量」という無限個の数値で表現しますが、その計算は極めて困難です。一方、B-モデルでは計算が古典的な積分に帰着でき、非常に容易になります。理論家たちは、ミラー対称性を適用することで、A-モデルでの難しい計算を、等価でありながら技術的にはより簡単なB-モデル上での計算に置き換えることができるようになりました。これにより、現在ではこれらの計算を用いて、弦理論における様々な物理的過程の確率を決定することが可能になっています。ミラー対称性は他の双対性と組み合わされることもあり、ある理論における計算を、別の異なる理論における等価な計算へと移し替えることができます。この方法で計算を「外部委託」することにより、理論家たちは双対性を用いなければ計算が不可能だった多くの量を計算できるようになりました。

弦理論以外では、ミラー対称性は素粒子を記述するために物理学者が用いる枠組みである場の量子論の一側面を理解するためにも利用されています。例えば、ミラー対称性はゲージ理論の性質を理解することに使われます。ゲージ理論は素粒子の標準模型に現れる、非常に高い対称性を持った物理理論です。これらの理論は、特定の背景を伝播する弦から生じることがあり、ミラー対称性はこれらの理論における計算を行う上で有用な道具となります。実際、このアプローチは、ネーサン・サイバーグやエドワート・ウィッテンによって研究された4次元時空における重要なゲージ理論の計算を実行するために使われ、ドナルドソン不変量に関連する数学とも深い繋がりがあります。ミラー対称性の一般化として、「3次元ミラー対称性」と呼ばれるものもあり、これは3次元時空における場の量子論のペアを結びつけます。

ミラー対称性への主要なアプローチ

ホモロジカルミラー対称性

弦理論や関連理論において、「ブレーン」（brane）は点粒子の概念をより高次元に一般化した物理的な対象です。例えば、点粒子は0次元のブレーンと考えることができ、弦は1次元のブレーンです。より高次元のブレーンも存在し、ブレーンという言葉は「メンブレーン」（膜）という言葉に由来しており、これは2次元のブレーンを指します。

弦理論には、両端を持つ「開弦」と、閉じたループである「閉弦」があります。「D-ブレーン」は、開弦を考える際に登場する重要なブレーンのクラスです。開弦は時空の中を伝播しますが、その両端は特定のD-ブレーンの上に拘束される必要があります。D-ブレーンの「D」は、ディリクレ境界条件として知られる数学的な条件に由来します。

数学的には、ブレーンは「圏」（Category）という概念を用いて記述することができます。圏は、対象と、対象の任意のペア間の「射」（morphism）からなる数学的な構造です。多くの例では、対象はある数学的な構造（例えば、集合、ベクトル空間、位相空間など）を持ち、射はこれらの構造間の関数によって与えられます。ブレーンを圏の対象と見なすこともできます。例えば、D-ブレーンを対象とし、二つのD-ブレーン$\alpha$と$\beta$の間の射を、$\alpha$と$\beta$の間に張られた開弦の波動関数と考えることができます。

位相的弦理論のB-モデルでは、D-ブレーンの圏は、弦が伝播するカラビ・ヤウ多様体の複素幾何学から構築されます。数学的には、これはカラビ・ヤウ多様体上の連接層の導来圏として知られています。一方、A-モデルのD-ブレーンの圏は、そのミラーであるカラビ・ヤウ多様体のシンプレクティック幾何学から構築されます。数学では、これは深谷圏として知られています。マキシム・コンツェビッチが提唱した「ホモロジカルミラー対称性予想」は、ある意味でこれらの二つのブレーンの圏が同等であると主張しています。

SYZ予想

ミラー対称性を理解しようとするもう一つのアプローチは、アンドリュー・ストロミンジャー、シン＝トゥン・ヤウ、エリック・ザスロフによって1996年の論文で示唆されたものです。「SYZ予想」によれば、ミラー対称性は、複雑なカラビ・ヤウ多様体をより単純な部分へと分解し、これらの部分の上でT-双対を考えることによって理解できます。

オーバービューのセクションでトーラスを考えたことを思い出してください。このトーラスは二つの円の積と見なすことができ、経線の円を集めたものと考えることができます。これらの円がどのように組織されているかを示す空間は、それ自体が円となります。この空間は、トーラス上の経線の円をパラメータ化すると言われます。上で説明したように、ミラー対称性は経線に作用するT-双対に対応し、半径$R_1$を$1/R_1$に変換することに同値です。

SYZ予想は、このアイデアをより複雑な6次元カラビ・ヤウ多様体の場合に一般化したものです。トーラスの場合と同様に、6次元カラビ・ヤウ多様体をより単純な部分へと分割できると考えられます。この場合、3次元トーラスが3次元球面によってパラメータ化されます。T-双対は円から3次元トーラスへと拡張可能であり、SYZ予想は、ミラー対称性がこれらの3次元トーラスに対するT-双対を同時に適用することと同値であると述べています。このように、SYZ予想はカラビ・ヤウ多様体上でミラー対称性がどのように働くかについて、幾何学的な描像を与えています。

歴史と発展

ミラー対称性のアイデアは、1980年代中期に遡ることができます。その頃、物理学者たちは、半径$R$の円の周りを伝播する弦の物理が、適切な単位系では半径$1/R$の円の周りを伝播する弦の物理と等価であることに気づきました。この現象は現在T-双対性として知られており、ミラー対称性と密接に関連しています。

1985年の論文で、フィリップ・キャンデラス、ガリー・ホロビッツ、アンドリュー・ストロミンジャー、エドワード・ウィッテンは、弦理論をカラビ・ヤウ多様体上へコンパクト化することで、大まかに素粒子理論の標準模型に似た理論が得られることを示しました。この発見を受けて、多くの物理学者は、弦理論に基づいて現実世界に合う素粒子物理モデルを構築できるのではないかと期待し、カラビ・ヤウコンパクト化の研究を始めました。しかし、そのような物理モデルから対応するカラビ・ヤウ多様体を一意に特定することはできないことに気付きました。その代わりに、同一の物理的性質を持つ二つの異なるカラビ・ヤウ多様体が存在することを発見したのです。

カラビ・ヤウ多様体とある種の共形場理論との関係を研究する中で、ブライアン・グリーンとローネン・プレッサーは、非自明なミラー関係が存在することを発見しました。さらに、フィリップ・キャンデラス、モニカ・リンカー、ロルフ・シームリックの研究からも、この関係の証拠が見つかりました。彼らは計算機を用いて多数のカラビ・ヤウ多様体を研究する中で、ミラーペアが現れることを発見したのです。

数学者たちがミラー対称性に興味を持ち始めたのは1990年頃です。特に、物理学者のフィリップ・キャンデラス、ゼニア・デ・ラ・オッサ、パウル・グリーン、リンダ・パークスらは、ミラー対称性を用いることで数え上げ幾何学における10年以上未解決であった問題、すなわちクインティックスリーフォールド上の有理曲線の数を解けることを示しました。これらの結果は、1991年にバークレーの数理科学研究所（MSRI）で開催された研究集会で発表されました。この集会で、キャンデラスらが計算した有理曲線の数の一つが、ノルウェーの数学者ゲイル・エリングスラッドとシュタイン・アリルド・シュトロームがより厳密な手法を用いて得た数と一致しないことが指摘されました。集会に参加した多くの数学者は、キャンデラスらの仕事が厳密な数学的議論に基づいていないため、誤りである可能性が高いと考えました。しかし、その後エリングスラッドとシュトロームは、彼らの計算機コードに誤りがあったことを発見し、訂正したところ、結果がキャンデラスらが得た数と一致したため、数学界に大きな衝撃を与えました。

1990年、エドワード・ウィッテンは弦理論を簡素化した位相的場の理論を導入し、物理学者たちは位相的場の理論にもミラー対称性のバージョンが存在することを示しました。位相的場の理論におけるこの主張は、しばしば数学的な文脈でミラー対称性の定義として用いられます。1995年、数学者のマキシム・コンツェビッチは、弦理論における物理的なミラー対称性のアイデアに基づいた新しい数学的な予想を提案しました。ホモロジカルミラー対称性として知られるこの予想は、ミラー対称性を二つの数学的構造の同値性として定式化しました。すなわち、カラビ・ヤウ多様体上の連接層の導来圏と、そのミラー多様体の深谷圏の同値性です。

1996年から2000年にかけて、アレクサンダー・ギベンタール、ボング・リアン、ケフェング・リウ、シン＝トゥン・ヤウといった数学者たちは、コンツェビッチのアイデアをどのようにして有理曲線の実際の数え上げに精密に応用できるかを示しました。これらの結果は、高次元におけるミラー対称性の数学的な証明の道筋を示唆するものでした。現在では、数え上げ幾何学に関するミラー対称性の予想の多くは、数学的に厳密に証明されています。

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