円に内接する四角形

円に内接する四角形（または単に内接四角形）とは、その四つの頂点が全て一つの円周上にある四角形のことを指します。この円は、その四角形の外接円と呼ばれます。四つの頂点が同一円周上にある状態は、共円であるといわれます。特別な場合を除き、通常は自己交差しない凸四角形を扱います。

全ての三角形には必ず外接円が存在し、内接三角形となりますが、全ての四角形が内接四角形となるわけではありません。例えば、正方形ではない菱形は内接四角形ではありません。一方、正方形、長方形、等脚台形、反平行四辺形は常に内接四角形です。凧形が内接四角形になるのは、ちょうど二つの角が直角である場合に限られます（直角凧形）。内接四角形でありながら外接円も持つ四角形を双心四角形と呼びます。

特徴付け

凸四角形が内接四角形であるか否かを判断するためのいくつかの必要十分条件があります。

四つの辺それぞれの垂直二等分線が一点で交わる場合、その四角形は内接四角形です。この交点は外接円の外心に一致します。
最もよく知られた性質の一つは、対角（向かい合う角）の和が180度（$\pi$ ラジアン）となることです。隣り合う角を順に$\alpha, \beta, \gamma, \delta$とすると、これは
$$\alpha + \gamma = \beta + \delta = 180^\circ$$
と表されます。逆にこの性質を持つ凸四角形は必ず内接四角形となります。
上記の性質と同値ですが、各外角がその内対角（向かい合う内角）に等しいことも内接四角形であるための条件です。
一つの辺とそれに対向しない対角線の間の角が、対辺と他の対角線の間の角に等しい場合も内接四角形となります。例えば、四角形ABCDで$\angle ACB = \angle ADB$が成り立つような場合です。
トレミーの定理によれば、内接四角形の二本の対角線の長さの積は、二組の対辺の長さの積の和に等しくなります。対角線を$e, f$、辺を$a, b, c, d$とすると、$ef = ac + bd$が成り立ちます。この定理の逆も真であり、この等式を満たす凸四角形は内接四角形です。
対角線ACとBDが点Pで交わる場合、$AP \cdot PC = BP \cdot PD$という線分の長さに関する等式が成り立つことも、四点A, B, C, Dが共円であるための必要十分条件となります。これは交弦定理に関連する性質です。
* 他に、隣り合う角のタンジェントを用いて表現される性質もあります。

面積公式

内接四角形の面積$K$は、四辺の長さを$a, b, c, d$とし、半周長を$s = (a+b+c+d)/2$とするとき、ブラーマグプタの公式により与えられます。
$$
K = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}
$$
これは、一般の四角形の面積を与えるブレートシュナイダーの公式において、対角の和が180度であるという内接四角形の条件を適用することで得られます。この公式は、内接四角形が、辺の長さが同じである全ての四角形の中で最大の面積を持つことを示しています。

面積は、辺の長さと一つの角、あるいは二本の対角線がなす角など、他の要素を用いて表すことも可能です。外接円の半径を$R$とすれば、$K \le 2R^2$という不等式も成り立ち、等号は正方形の場合にのみ成立します。

対角線に関する公式

内接四角形の対角線の長さ$p, q$は、辺の長さ$a, b, c, d$から計算できます。
$$
p = \sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}, \quad q = \sqrt{\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}
$$
これらの式から、$pq = ac+bd$というトレミーの定理が再び導かれます。また、対角線の比率に関するトレミーの第二定理というものもあります。

幾何学的中心など

内接四角形の辺の垂直二等分線は一点で交わりますが、この点は反中心と呼ばれます。反中心は、外心や「頂点重心」といった図形の中心と常に一直線上に並びます。

内接四角形に関する興味深い定理として、日本人の定理があります。これは、四角形を対角線で四つの三角形に分割したとき、それぞれの三角形の内心を結んでできる図形が長方形になるというものです。また、これらの三角形の垂心を結んでできる四角形は元の四角形と合同になり、重心を結んでできる図形も内接四角形になります。

対角線が直交する場合

内接四角形の中でも、二本の対角線が互いに垂直に交わるものを直交対角線内接四角形と呼びます。

このような四角形では、外接円の直径$D$の平方 ($D^2$) が、隣り合う辺の平方和のペア（$a^2+c^2$または$b^2+d^2$）に等しくなります。外半径$R$も、辺の長さから$R = \frac{1}{2}\sqrt{a^2+c^2} = \frac{1}{2}\sqrt{b^2+d^2}$と求められます。

面積$K$は、$K = \frac{1}{2}(ac+bd)$という簡潔な形で表されます。

直交対角線内接四角形では、反中心は対角線の交点に一致します。また、対角線の交点から任意の辺に下ろした垂線は、対辺を二等分するというブラーマグプタの定理が成り立ちます。

球面内接四角形

平面幾何学だけでなく、球面幾何学においても内接四角形が定義されます。球面上の四つの大円弧で囲まれた四角形が、ある小円に内接するための必要十分条件は、平面の場合と同様に、二組の対角の和がそれぞれ等しくなることです。

内接四角形は、様々な美しい幾何学的性質を持ち、多くの定理の基礎となっています。

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