直交群

n次元直交群

直交群（Orthogonal Group）とは、n次元のユークリッド空間で固定された点を保ちながら距離を保持する変換の集合を指します。この群は、行列の積によって構成される演算を持ち、通常O(n)と表記されます。具体的には、元はn×nの実直交行列であり、直交行列は、その逆行列が元の行列の転置と一致する性質を持ちます。さらに、直交行列の行列式は1または−1であるため、これに基づく部分群として特殊直交群SO(n)が存在し、行列式が1の直交行列から構成されています。この群は回転操作を表し、特に2次元や3次元での回転の性質が広く研究されています。

直交群の一般化

「直交群」という用語は、非退化な対称双線型形式や二次形式を保持する可逆な線形作用素の群として一般化されることがあります。これにより、体F上のn次元ベクトル空間に関する直交群O(n, F)が形成されます。ここで群の元はF成分のn×n直交行列であり、群の積は行列の積によって定義されます。特に、直交群O(n, F)は一般線形群GL(n, F)の部分群です。

偶数次元と奇数次元の違い

直交群の構造は次元によって異なります。特に、Rのような順序体上では、元−Iは偶数次元で向きを保存しますが、奇数次元では反転させます。この違いを強調するために、直交群はO(2k)やO(2k + 1)のように表現されることもあります。関連するリー代数は、奇数次元でso(2r + 1)、偶数次元でso(2r)と表されます。

O(n)とSO(n)の違い

例えば、2次元の場合ではO(2)が原点を中心とした回転と原点を通る直線に対する鏡映から構成されています。一方、SO(2)は回転のみから成り、そのためO(2)の部分群となります。一般次元においては、偶数回の鏡映は回転に転換し、鏡映変換のみの部分集合は部分群とはならないことが示されています。

実数体上の直交群

実数体R上における直交群O(n, R)および特殊直交群SO(n, R)は、特に誤解を避けるために、O(n)やSO(n)と簡略化して表現されることがあります。これらの群はn(n − 1)/2次元の実コンパクトリー群であり、O(n, R)は二つの連結成分を持ち、SO(n, R)は単位元を含む連結成分です。

幾何学的な視点

O(n, R)は原点を保つ等長変換の群としてユークリッドの運動群E(n)の部分群であり、SO(n)は特にn次元球面や球対称な形状の対称群となっています。たとえば、円の対称群はO(2, R)として表され、SO(2, R)は円周群Tまたは1次元のユニタリ群U(1)と同型です。

低次元直交群のトポロジー

低次元の実（特殊）直交群はよく知られた位相空間と同相関係にあり、次のように表現されます：

• - O(1) = S0（2点からなる離散空間）
• - SO(1) = {1}
• - SO(2)は S1
• - SO(3)は RP3
• - SO(4)は SU(2) × SU(2) = S3 × S3 に二重被覆されます。

複素数上の直交群

複素数体C上の直交群O(n, C)と特殊直交群SO(n, C)も定義でき、これらはCにおいてn(n − 1)/2次元の複素リー群を形成します。n
≥ 2の場合、これらの群は非コンパクトであり、SO(n, C)は単連結ではありません。

有限体上の直交群

直交群は有限体Fq上にも定義されます。この場合、標数が2でない場合、偶数次元にはO+(2n, q)とO-(2n, q)の二つのタイプがあり、奇数次元ではO(2n + 1, q)が存在します。

直交リー代数

直交群O(n, F)およびSO(n, F)に対応するリー代数は、交代行列全体から構成され、リーブラケットが交換子によって定義されます。これにより、nごとに同じリー代数が対応し、直交リー代数または特殊直交リー代数と呼ばれています。

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