群 (数学)

群の概念

数学における群（ぐん、英: group）は、特定の二項演算と集合を組み合わせたものを指します。群は結合律、単位元の存在、逆元の存在といった条件を満たし、代数的構造の基本的な要素として認識されています。この概念は数学や物理学のさまざまな場面で応用され、群論という専門分野が存在します。

群の基本的な性質

群の概念は、自己同型の集合が持つ性質を代数的に抽象化することによって成り立ちます。自己同型は対象の対称性を表現し、結合法則や恒等変換、逆変換が必要です。例えば、集合Xがあれば、XからXへの全単射写像を考えることができ、これに対して追加の条件を課すことで群が導かれます。

図形の対称性を考えると、正三角形など特定の図形を保つような変換の集合を考え、これによって群を形成することができます。

群の定義

群(G, μ)は以下の条件を満たす必要があります：
1. 結合法則：任意の元g, h, kに対し、μ(g, μ(h, k)) = μ(μ(g, h), k)
2. 単位元の存在：ある元eが存在し、任意の元gに対してμ(g, e) = μ(e, g) = gが成り立つこと
3. 逆元の存在：任意の元gに対して、μ(g, x) = μ(x, g) = eとなる元xが存在すること

このような群の構造は、他の代数的概念にも広がっています。群は拡張して半群やモノイドといった広い概念に属し、それぞれの特性を持ちます。群の演算は、通常μ(g, h)と書く代わりに、ghやg・hなどの形でも表現されることがあります。

群の種類

群のさらなる分類として、アーベル群があります。これは、任意の元g, hに対しμ(g, h) = μ(h, g)を満たす群です。アーベル群の演算は加法で表現され、逆元は-gで表されます。

具体的な群の例

群の中でも対称群は重要な例で、集合{1, 2, ..., n}上の置換全体から構成され、Snとして表記されます。整数や有理数、実数、複素数は加法に関してアーベル群を形成します。一方、四元数は乗法に関する非可換群となります。

また、行列の群として、n次正則行列全体の集合（GLn(R)）や行列式が1である特殊線型群（SLn(R)）なども存在します。これらの群は次元や性質に応じて多様な構造を持ち、数学的な対象の対称性を表す基本的な道具となっています。

群の準同型と同型

群には準同型や同型といった概念もあり、特定の写像が群の演算の保存を持つ場合、これを準同型と呼びます。全単射であれば同型とされ、群の性質を比較するのに便利です。また、群の自己同型全体や内部自己同型といった構造も考慮され、これらの数学的な枠組みを通じて群の性質が体系化されます。

共役と中心

共役は群の元の間に特定の関係を定義するもので、任意の元に対してgが存在する場合に互いに共役であると言います。群の中心は、すべての元と可換な元の集合として定義され、非自明な共役類の理解に寄与します。

可解群と冪零群

群はさらに可解群と冪零群に分けられます。可解群は特定の条件に従った部分群の列を持ち、重要な数学的構造を示します。特に、5次の交代群は最小の非可解群とされ、代数方程式の解における興味深い性質を有しています。

歴史的背景

群の概念の発展は、エヴァリスト・ガロアによる根の置換群の研究から始まりました。特に、五次以上の方程式の可解性に関する議論が進む中、群の理論は数学のさまざまな領域に広がりを見せました。これにより、制度論や応用数学においても群の概念が重要視されるようになっています。

群論は数学や物理の多様な分野にただならぬ影響を与えており、今後の研究においてもその重要性は変わらないと考えられます。

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