群論の用語

群と群論

群（グループ）は、集合と、それに対して定義された特定の二項演算から構成される代数的な構造です。群は、以下の三つの公理を満たすことで定義されます：

1. 演算の結合律：任意の元 a, b, c に対して、(a • b) • c = a • (b • c) が成り立つ。
2. 単位元の存在：一つの元 e が存在し、この元は任意の元 a に対して、e • a = a • e = a を満たす。
3. 逆元の存在：各元 a に対して、その元に対する逆元 b が存在し、a • b = b • a = e を満たします。

これらの条件から、群はその元がどのように相互作用するかを定義します。群の一例としては、整数の集合 Z に対する加法、あるいは零でない有理数の集合 Q× に対する乗法が挙げられます。これらは特別な場合の群ですが、群論はより広い概念を包含し、群の抽象的な性質を探ることが目的です。

基本概念

群 G の部分集合 H が G の部分群であるためには、H に対する演算が G にも成立しなければなりません。部分群 H が正規部分群であれば、任意の g ∈ G に対して左右の剰余類 gH と Hg が等しくなります。正規部分群は、群 G の重要な構造の一つで、剰余群や商群の形成と密接に関連しています。部分群や正規部分群は、その包含関係に基づいて完備束を成していることが知られています。

また、任意の集合 A に対して、A を生成系とした自由半群内の最小部分群を考えることで群を構成できます。この生成された群は、元やその逆元からなる語と見なされる有限文字列の集合であり、文字列の結合によって新たな元を形成します。具体的には、(abb) ∗ (bca) = abbbca のように文字列同士が結合します。

群の性質

任意の群 G は、その元全体を含む自由群 F(G) の剰余群として表現できます。群の直積、自由積、直和、半直積は、異なる方法で群を組み合わせる技法を提供します。群準同型は、群の間の写像であり、演算の構造を保つことが求められます。準同型の核は正規部分群であり、準同型定理により、群と核の構造が関連付けられます。

群論の重要な問題の一つが、群を同型の違いを除いて全て分類するという、群の分類問題です。また、群の間の準同型も含めて考えると、圏を形成します。このように、群はその元や演算だけでなく、より高次の代数的構造を醸成します。

群の位数

群 G の位数は |G| で表され、これは群の元の数を示します。有限群はこの値が有限であり、無限群は無限の元を持ちます。特に、置換群や対称群は重要な例として取り上げられます。ラグランジュの定理は、任意の有限群の部分群の位数が群 G の位数を割り切ることを示すものです。また、シローの定理は、任意の群が p-冪を持つ部分群を持つことを保証します。

群の種類

群のなかでも、アーベル群（可換群）は特に研究が進んでいます。アーベル群では、任意の元が互いに交換可能であり、その構造において大きな特性を持つことから、非常に多様な応用があります。アーベル群は、その性質から巡回群に分類され、有限生成アーベル群は無限循環群や循環群の直積で表現されます。

群論ではさらに、群の拡大や分解、正規列の概念が重要です。非自明な正規部分群を持たない群は単純群と呼ばれ、これらの群の複雑な構造は理論的な興味を引き続けます。

結論

群とその関連する構造は、抽象代数学において中心的な役割を果たします。その性質や構造を理解することは、さまざまな数学的問題に対する解決策を提供する鍵となります。群論は、現代の数学における重要な領域であり、さらに深く探求されるべき対象です。

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