音楽と数学

音楽と数学の深い関係

音楽は、現代数学の公理的基礎を持つわけではありませんが、音楽理論家は音楽を理解するために数学を用いることがあります。数学は「音の基礎」であり、音楽に存在する音の配列には、驚くべき数的性質が見られます。これは、自然現象が数学的な性質を持っていることの表れと言えるでしょう。

古代からの探求

古代中国、エジプト、メソポタミアの人々は、音の数学的原理を研究していたことが知られています。特に有名なのは、古代ギリシアのピタゴラス教団です。彼らは、数の比率、特に小さな整数の比率によって音階を表現することを研究しました。彼らの教義は、「自然界のあらゆる構成要素は数から生じる調和（ハルモニア）から成り立っている」というものでした。

プラトンの時代から、ハルモニアは自然学（物理学）の基礎部門の一つと見なされていました。この部門は現代では音響学として知られています。古代インドや中国の音楽理論家も同様の方法論を用いており、和声やリズムの数学的法則が、世界の理解だけでなく、人類自身の理解にも不可欠であることを示そうとしました。孔子もピタゴラスと同様に、1、2、3、4といった小さな数をあらゆる完全性の根源と考えていました。

作曲における数学の応用

音楽を作曲し、聞く新しい方法を見つける試みは、集合論、抽象代数学、数論を音楽に応用することを促しました。作曲家の中には、バルトークのように、自身の作品に黄金比やフィボナッチ数を取り入れた者もいます。

時間、リズム、拍子

リズム構造の境界、つまり基本的な拍節、反復、ビート、楽句、デュレーションを規則的に配置することなしに、音楽は成立しません。古英語における「rhythm」という単語から派生したとされる「rhyme」という単語は、「rim」（数字）と混同されるようになりました。現代における拍子や小節といった単語の音楽における使用は、天文学で使用される記数、算術、時間の正確な測定、そして物理学の基礎概念である周期性などと、音楽が歴史的に密接な関係があったことを示しています。

楽式

音楽形式は、音楽の短い断片を拡張していく際の設計を指します。「設計」という用語は建築でも用いられ、楽式と比較されることが多いです。建築と同様に、作曲家は、簡潔でありながら反復や秩序を持った作曲が可能かどうか、作品が意図通りに機能するかどうかを考慮しなければなりません。二部形式や三部形式といった一般的な楽式は、音楽の理解における小さな整数値の重要性を示しています。

周波数と調和

音階は、音楽を作成、記述する際に用いられる音高の離散集合です。西洋伝統音楽において最も重要な音階は全音階ですが、歴史上のさまざまな時代や地域で異なる音階が使用、提案されてきました。各々の音高は特定の周波数に対応し、通常ヘルツ（Hz）で表現されます。音階は、通常オクターブを反復します。ある音高のオクターブ上の音高は、元の音高の周波数のちょうど2倍に相当します。同様に、1、2、3オクターブ下げた場合の音高の周波数は、元の音高の周波数の1/2、1/4、1/8倍となります。音楽のハーモニーにおいて、ある音高が調和していると考えられる場合、その1オクターブ上の音高が調和していないということはありません。

調律体系

5限界調律は純正律の最も一般的な形式であり、基本周波数の有理数倍音を用いた調律体系です。この調律体系は、ヨハネス・ケプラーの著書「宇宙の調和」で惑星の運動と関連して示された音階の一つであり、後にアレクサンダー・マルコムやホセ・ウアシュミットによっても提示されました。この純正律の形式は、北インドの音楽で使われています。純正律は、和声進行がほとんどない場合に優れた結果をもたらします。しかし、純正律に調律された鍵盤楽器では、2つの異なる全音の音程が存在するため、移調が困難になります。ピタゴラス音律は、完全協和音である完全八度、完全五度、完全四度のみで作られる調律です。長三度は三度ではなく「二全音」と考えられ、シントニックコンマのずれがあります。

平均律

西洋の伝統的音楽は、一般に純正律で演奏することはできず、体系的に調整された音律を必要とします。調整には、不規則なウェル・テンペラメント、レギュラーテンペラメント、さまざまな平均律や正則中全音律などが用いられます。平均律では、オクターブは12の等しい半音階に分割され、各半音階の比率は2の12乗根です。ギターのようなフレットを持つ楽器では、平均律が有用です。19平均律や24平均律といった様々な平均律が提案されてきました。平均律が和声をどの程度正確に近似しているかは、グラフによって示されています。

集合論との関連

ピッチクラス・セット理論（音楽的集合論）は、数学的集合論の概念を援用し、音楽的要素を構成し、その関連性を記述します。この理論を使用することで、無調音楽の構造を解析したり、移調や転調といった操作を通して音楽の深い構造を理解したりすることが可能です。

抽象代数学との関連

音楽的集合論の方法を拡張することで、音楽理論家は音楽を解析するために抽象代数学を用いることがあります。例えば、平均律のオクターブにおける音符は12個からなり、アーベル群を形成します。自由アーベル群を用いることで、純正律を記述することも可能です。

結論

音楽と数学は、古代から現代に至るまで、密接な関係を保ち続けています。音楽の構造を理解する上で、数学的な視点は不可欠であり、今後も両分野の相互作用によって新たな発見が生まれることが期待されます。

関連項目

平均律
音程
調律
音楽理論
ゼンハーモニック音楽

外部リンク

Database of all the possible 2048 musical scales in 12 note equal temperament and other alternatives in meantone tunings
Music and Math by Thomas E. Fiore
Twelve-Tone Musical Scale.
Sonantometry or music as math discipline.
Music: A Mathematical Offering by Dave Benson.
Nicolaus Mercator use of Ratio Theory in Music at Convergence
The Glass Bead Game ヘルマン・ヘッセは自身の著書ガラス玉演戯において、音楽と数学に決定的な役割を与えた。
Harmony and Proportion. Pythagoras, Music and Space.
Linear Algebra and Music
* 「なぜ音楽の虜になるのか? を紐解く。18年間、津田塾大学で教えてきたこと by 麻倉怜士」(AV Watch 2022年12月28日記事)

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